*
（&）’ *&+
+ ’ **
（"&）’ ),+ ’ ( *（ (&+）
+’ +’
由于 ,+ ’ (,+，& ’ (&，代入上式得
*
（"(&）’ ( *,+ ’( （&）
+ ’
即得：
（&）’ ( "
（(&）同样，做或门结构故障树的对偶树，利用上述方法，可以验证式（% -—）的第 个表达式的正确性。
（%）故障树 的全部最小割集对应于其对偶树 "的全部最小路集，故障树 的全部最小路集对应于其对偶树 "的全部最小割集，仅是事件要用其不相容事件替代而已。
（二）求最小路集
画出相应的对偶树。
•/.%•
"求对偶树最小割集。
我们用上行法，得到
%& )&’ ’ ( %&( %&&( )&(&
) % &(&，’ ’ * %&) )( %&) )&&( )&(&
%&* )) %&* )&(&
+
（,） % * %（&* )&(&）（&) )&&( )&(&）
% &*&) )&*&&( )&*&(& )&(&)& )&&(& )&(&
% &*&) )&*&&( )&(&
所以对偶树 -+的最小割集为：｛&*，&)｝、｛&*，&，&(｝和｛ &(，&｝。
("确定故障树最小路集
将对偶树 -+的各最小割集中的底事件换成其不相容事件，便得到故障树 -的全部最小路集，它们是｛ &*，&)｝、｛&*，&，&(｝和｛ &(，&｝。
四、用最小割集和最小路集表示结构函数
（一）用最小割集表示结构函数设故障树有 .*个最小割集，它们是 /*，/，.， /0。我们用二值随机变量函数 12表示第 2个最小割集的状态。当 12 %*，则该最小割集发生， 12 %3，该最小割集不发生。根据最小割集定义，只有当该最小割集中的全部底事件都发生（即它的底事件状态变量全取 *值），这个最小割集才发生，也才能使结构函数 （ ,）%*。因此，最小割集状态函数 12应为该最小割集各底事件状态变量的逻辑积，即 12 % *&4（5 6 6）
4+/2
由于故障树中只要至少有一个最小割集发生（即最小割集状态函数值 *），就会导致顶事件发生，所以故障树的结构函数 （ ,）可表示为它的各最小割休状态函数的逻辑和，即
（,）% 2%* 2%* 4+12&4 （5 6 6(）
)012 % )0*
从上述看出，对于任意一棵由与门和或门组成的复杂故障树，总可以简化成只有两层逻辑门（上层为或门，下层为与门）的简化相干故障树，称为与门结构或门结合故障树。简化故障树上层或门的输入事件为各最小割集，输入个数为最小割集数；其下层与门的输入事件为每个最小割集的各底事件。
（二）用最小路集表示结构函数设故障 有 7个最小路集，它们是 8*，8，.87。我们引入二值随机变量函数 " 2表示第 2个最小路集的状态。 " 2 %3，表示该最小路集发生， " 2 %*，表示该最小路集不 •9((•
发生。根据最小路集定义可知，只有属于该最小路集中的底事件全都不发生（即状态变量取 值），该最小路集才发生，故得最小路集状态函数为 " )&（’ () (*）
+%"
我们知道，一个最小路集表示系统正常的一种模式，只有全部可能的下常工作模式全不发生，即所有最小路集全都不发生，系统才出现故障，所以故障树的结构函数 "（+）是最小路集状态函数 "的逻辑积，即
"（+） *,"*,{ )& }（’ () (.）
"-"-+%"
因此，对于任意一棵由与门和或门组成的复杂故障树，也总还可以简化成只有两层逻辑门（上层与门、下层或门）的另一查等价故障树。上层与门的输入事件为最小路集不发生的事件，有几个最小路集就有几个输入；下层或门的输入为每一个最小路集中各底事件，如图 )/0 (-（1）所示的故障树，它有三个最小路集 %-｛&-，&)，&0｝、 %) ｛&，&*｝、 %0 ｛&0，& ｝，所以它的等价故障树也可如图 ’ () ()所示。
-.
图 ’ () ()2故障树的等价故障树
第四节 2故障树分析程序举例
故障树分析的程序很多，这里仅就我们自己编制的 3456578程序做一简单介绍。鉴于相干故障树，通过逻辑门的等效变换，一般总可以简化成由与门和或门组成的故障树，所以我们仅就由与门和或门组成的故障树进行分析。我们做了下列信息约定：
•90*•
———逻辑门个数；
" ———底事件个数（不超过 个）；
（%）———第 %个逻辑门信息，以三位数表示：
其中：&［%’（( )"）］—
—第 %个逻辑门的第 (个输入量，没有时添零；
*（ %）———第 %个底事件发生故障的概率。
中间变量与结果单元如下：
+（%，,）———第 %个“最小”割集，第 ,个底事件号码，也兼作中间结果单元；
+" —
—一维数组单元，存放 +的一行元素（排序前的元素）；
+-—
—一维数组单元，存放 +的一行元素（排序后的元素）或最小割集并集中各
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