由表 1和表 2可以看出 ,若取主自由度数 m =5经 4次迭代后 ,各种算法的前 3阶计算的固有频率结果是可以接受的 ,这与子空间迭代法的已有结论是吻合的 ,但逆迭代动力缩聚法的收敛效果要优于其他方法。
以 IIRS法为例 ,取不同的主自由度数 ,辅自由度数 s = 85保持不变 ,迭代 4次后 ,对收敛的充
1 -1
分性条件 ρ(Kss -Mss )ρ( Mmm Kmm ) <1进行检验 ,结果如表 3所示。
表 3 IIRS法收敛性检验 Table 3 Convergence of IIRS method
自由度数 m
谱半径积
123 45
ρ(K-1 -1
ss M ss )ρ( Mmm Kmm ) 0184 3120 61 06 61 70 6172
由表 3可以看到 ,只有一阶固有频率的计算结果满足收敛的充分性条件 ,而其他阶未满足理论上收敛的绝对要求。从频率计算的绝对数值上也可以看到 ,IIRS法迭代 4次后一阶固有频率值为 801 652 954 506 909 rad/ s ,而全自由度有限元解的值为 801 652 949 446 267 rad/ s ,经四舍五入后 ,小数点后 5位都相同 ,而此时其他各阶计算结果最多精确到小数点后 2位相同。换句话说 ,上述迭代方式从理论上来讲可以保证一阶固有频率收敛到理论上的精确解 ,而其他各阶的计算结果则不能。不过从工程应用的角度而言 ,只要计算 结果收敛到一定的精度范围 ,就可以接受了。但
从理论上讲 ,各种动力缩聚法在不满足收敛的充
分性条件下所得到的降阶模型只能是近似的 ,不
可能通过提高迭代次数的手段达到精确结果。
图 2所示的是上述算例中 ,取主自由度数 m =5,在 IIRS法迭代过程中谱半径积 ρ(Kss -1Mss ) · ρ( M-1
mm Kmm )随迭代次数的变化关系。由图 2可以看出 ,在迭代的初期 ,谱半径积下降速率很大 ,但中后期逐渐变缓 ,这也预示着迭代收敛的效率逐渐变低。
1 -1
图 2 谱半径积 ρ( Kss -Mss )ρ( Mmm Kmm )随迭代次数变化曲线 Fig12 Curve of spectrum radius ρ(K-1 )ρ( M-1 ·
ss Mss mm
Kmm ) is iterative number
5 结 论
对动力缩聚法的收敛性进行了理论分析和证明 ,给出了算法收敛要满足的充分条件。从理论上讲 ,只有动力缩聚过程满足收敛的充分性条件 ,才能保证使迭代结果收敛到理论上的精确解。
参 考 文 献
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Tel : 025284892032 E2mail :wxhnj @nuaa. edu. cn
曹立娟 (1980 -) 女 ,博士研究生。主要研究方向 :结构动力学建模。
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