航空学报08大飞机专刊(42)

曝光台 注意防骗 网曝天猫店富美金盛家居专营店坑蒙拐骗欺诈消费者

　　在对大型复杂结构的振动控制、结构系统故国学者也在有关方面进行了卓有成效的研究工障诊断和减振降噪及有限元模型修正等工作中 ,作[829] ,其中 Qu等提出的逆迭代动力缩聚法就是均会涉及到对大型结构的有限元模型进行降阶这一种比较优秀的算法。随着动力缩聚法研究的不一重要问题。继 Guyan[ 1 ]和 Irons[ 2 ]于 1965年首断深入 ,动力缩聚法所展现出的突出优点有可能先提出模型静力缩聚法后 ,人们又研究、发展了有使它们替代传统的基于子空间迭代的模型降阶或限元模型动力缩聚法。 O’Callahan[ 3 ]于 1989年大型特征对计算法。尽管有些文献中已从迭代的首先提出了“改进的缩减系统 ( IRS)法” ,这是一角度对有关算法的收敛性进行了分析和验种在经典的 Guyan静力缩聚法基础之上发展出证[6,8] ,但是 ,到目前为止 ,从矩阵方程求解的角的动力缩聚法 ,可以更有效地对动力学模型进行度 ,对动力缩聚法收敛性进行严格论证的文章尚缩减。随后 Friswell等对 IRS法进行了更深入未见到。本文利用 L yap unov矩阵方程和 Riccati的研究 [427] ,进一步提出了迭代的改进缩减系统 矩阵方程解的理论 ,对迭代动力缩聚法的收敛性( IIRS)法 ,有效地提升了 IRS法的计算精度。中进行了分析证明 ,并给出了迭代收敛的充分条件 ,
并对动力缩聚法与子空间迭代法之间的关系进行收稿日期 :2008201217 ;修订日期 :2008204207了分析 ,论述了动力缩聚迭代法与子空间迭代法
基金项目 :国家自然科学基金 (10672078) ;航空支撑科技基金

(05D52009) ;国家 “863”计划 (2006AA706103)各自的特点。通过一个数值例子 ,对几种计算方
通讯作者 :汪晓虹 E2mail : wxhnj @nuaa. edu. cn法进行了对比。

1　动力缩聚法简介
假设结构有限元模型的总自由度为 n,结构的刚度矩阵和质量矩阵是 n阶实对称、带状、正定矩阵 ,分别记为 K, M。在结构固有振动分析中 ,需要求解如下大型广义特征值问题
KX = MXΛ (1)式中 :固有振型矩阵 X= [ x1　x2　.　 xn]满足正交规范化条件
XT
KX = Λ

(2)
XT
MX = I 式中 :Λ = diag (λ1 ,λ2 , .,λn)为特征值矩阵 ,且 0<λ1<λ2< .<λn。通过适当地选取结构有限元模型的主、辅自由度 ,将其 n个总自由度分为 m个主自由度和 s个辅自由度两部分 ,且 m ν s。记 Λmm = diag (λ1 ,λ2 , .,λm)是式 ( 1)的 m个最小特
征值矩阵 , Xm = Xmm 是相应的特征向量矩阵 ,
Xsm
则针对主自由度 ,由式 (1)可得
Kmm Kms
X
mm Λmm Ksm Kss

Mss Xsm
(3)假设 Xsm = RXmm ,称 R为动力缩聚矩阵 ,代入式

(3),可得到一个
m阶的小型特征值问题 [7 ]

KT Xmm = M T XmmΛmm (4)式中 : KT = TT KT ; M T = TT MT ;
I
并且 T=
R
XT

mm KT Xmm = Λmm

(5)
XT
mm M T Xmm = Imm 由此可知 ,只要能确定 R ,则可由求解小型特征值问题式 (4)获得大型特征值问题式 ( 1)的前 m个低阶特征对 ,从而实现对原系统的动力缩聚。
目前 ,对 R的求解主要有 3种方法。
11 1　IIRS法[427]
由式 (3)的第 2行及 Xsm = RXmm ,可得
( Ksm + Kss R) Xmm =( Msm + Mss R) XmmΛmm (6)联立式 (4)和式 (6),得到 IIRS法的迭代公式为
R(i+1)= R(0)-1  Λ( i) 1
+ Kss ms + Mss R(i) ) X( i) mm (i)mm
( MT mm( X)-(i = 0 ,1 ,2 , .)(7a)也可写为
R( i+1) R(0)-1  )-1K( i)
=+ K ( MT + Mss R(i)) ( M( i)
ss ms TT
(i = 0 ,1 ,2 , .)(7b)
K-1KT
式中 : R(0) =-ss ms。
11 2　逆迭代动力缩聚法 [ 8]
做分解 : K= LDLT ,令
Cmm Cms
C =( LD1/ 2 )-1M ( LT 1 =
D1/ 2 )-Csm Css
将式 (1)改写为 CXm =XmΛm -1 ,从而得到逆迭代动
力缩聚法的迭代公式为
R( i+1)  1
=( Csm + Css R(i)) ( Cmm + Cms R(i)) -
　　　　　 (i = 0 ,1 ,2 , .)
R( 0) = Csm Cmm -1

(8)
11 3　动力缩聚完全迭代法 [ 9]
由式 (3)的第 1行 ,得到
1

( Mmm + Mms R)
-1 ( Kmm = XmmΛmmX-mm
(9)
联立式 (6)和式 (9),得动力缩聚完全迭代法的迭
1 1
[( MT + Mss R(i)) ( Mmm
ss ms  + Mms R(i)) -·
KT
( Kmm + Kms R(i)) -ms ]　　 (i = 0 ,1 ,2 , .)
(10)
K-1KT
式中 : R(0) =-ss ms。
2　动力缩聚法的收敛性分析
目前 ,直接针对迭代方程式 ( 7)、式 ( 8)及式
(10)从矩阵方程求解的角度进行收敛性分析的研
究报道还未见到 ,本文主要针对该方面进行研究。要计算 R ,首先需要式 (11)～式 (13)都有解。
-1 -1 1
KT ( MT
R =-Kss ms + Kss ms + Mss R) XmmΛmmX-mm
(11)
R  =( Csm + Css R)( Cmm + Cms R)-1 (12) KT ( MT
ms + Kss R = ms + Mss R) ·
( Mmm + Mms R)-1 ( Kmm + Kms R)(13)式 (11)称为 Lyap unov矩阵方程 ;式 ( 12)称为非对称的 Riccati矩阵方程 ;式 (13)为阶数更高的关于 R的矩阵方程。它们是否有解与 R的系数矩阵的性质密切相关 ,需要满足一定的条件 [10212 ]。
注意到式 (4)、式 (6)及式 ( 9)之间的关系 ,可知 IIRS法和动力缩聚完全迭代法均有共同的另一迭代形式 ,即
R(i+1) R(0)-1  Λ(i) )-1
=+ K( MT + Mss R(i) ) X(i) mm ( X
ss ms mm(i)mm因此 ,仅研究 IIRS法的迭代式 (7)和逆迭代动力缩聚法的迭代式 (8)的收敛性。
21 1　IIRS法的收敛性分析
-1  -1
记 Zmm =Mmm Kmm ,则 Zmm =XmmΛmm Xmm可将

式 (11)改写为
-1 -1
( MT KT
R -Kss Mss RZmm = Kss ms Zmm -ms )(14)
　
中国航空网 www.aero.cn
航空翻译 www.aviation.cn
本文链接地址：航空学报08大飞机专刊(42)