ss ms Zmm -ms ) ,则式 ( 14)就是关于 R的
L yap unov矩阵方程
R -ARB = G (15)
定理 1[12 ] 矩阵方程 R-ARB = G有唯一
解 ,当且仅当 λj/μk ≠1。其中 1/μ1 , ., 1/μs和
λ1 , .,λm分别为矩阵 A和 B的特征值。根据式 (1)和式 (3)的定义可知 :矩阵对 ( K,
M)的 m个最小特征值 λj(j =1 , .,m) ,与矩阵对
( Kss , Mss )的特征值 μk (k =1 , ., s)互不相同 ,则 λj/μ≠1。将式 (14)与式 ( 15)对照 ,由定理 1可
k
知式 (14)有唯一解 R。
s
定理 2[12 ] 给定矩阵 A ∈Cs ×, B ∈Cm ×m, G ∈
Cs ×m,并且矩阵 A和 B的谱半径满足 ρ( A)ρ( B) <
1 ,则矩阵方程 R-ARB = G有唯一解
∞
R= ∑Aj GB j。
j= 0
定理 3[13 ]
KΦ =MΦΛ及
Kssη=μMssη的特征值分别为 0<λ1<λ2< .<λn
和 0<μ1 ≤μ2 ≤.≤μs,则λj ≤μj,μk -j +1 ≤λn -j +1
(j =1 , ., s)。
定理 1～定理 3为分析迭代式 (7)产生的 R( i)能否收敛到精确的 R做了理论上的准备。根据定理 2知式 (14)的解为
R(0) MT ( R(0) MT
-1 -1
R =+ Kss ms Zmm + As+ Kss ms Zmm ) · ( R(0)-1MT
Zmm + A2 s+ Kss ms Zmm ) Z2 mm + . + Ai-1 ( R(0)-1MT ) Zi-1
s+ Kss ms Zmm mm + . (16)然而 ,用迭代式 (7)计算 i步迭代 ,得到 R(i) = R(0) ms Z( i-1)( R(0) ms Z(i-2)
-1 -1
+ Kss MT mm + As+ Kss MT mm ) · Z(i-1)( R(0)-1T 3) Z( i-1)
mm + A2 s+ Kss M ms Zmm (i-) Z(i-2)mmmm + . + -1 -1 -2)-1)
Ai( R(0) MT ) Z(1) .Z(iZ(i
s+ K ms Z(0) mm mm mm +
ss mm
R(0) Z(1) .Z( i-2)AisZ(0)mmmm mm Z(i-1)mm(17)
定理 4 设矩阵 K-1Mssmm的谱半径满足
ss 和 Z( j)
ρ( Kss -1M ss )ρ( Z(j)mm) <1 ,j =1 , .,i -1 ,则迭代式 R( i) R(0)-1 -1)) Z(i-1)
( MT
=+ Kss ms + Mss R(imm
(18)
收敛 ;并且 ,当矩阵 R( i)收敛到精确动力缩聚矩阵
R= ΦΦ-1 时 ,矩阵 Z(i)mm就收敛到式 ( 4)的精确小
smmm
型特征值问题解 : Zmm = Φmm Λmm Φ-1 。反之 ,
mm
也对。
证明 因为 ρ( Kss -1Mss )ρ( Z(j)mm) <1 ,j =1 , .,
i -1 ,比较式 (16)与式 (17)的对应项 ,根据定理 2
可知迭代式 (18)是收敛的。下面证明定理的后两个结论。用式 (18)减去式 (11),得到
R( i) 1 ( Z(i-1)
e(i)= -R = K-ms -)+
ss MT mm Zmm -1 -1)-1)
( R(iZ(i
Kss Mss mm -RZmm ) = -1 -1)
Kss ( MT + Mss R)( Z(i-)
ms mm Zmm + -1 ( R(i-1)-1)
R) Z(i
Kss Mss -mm (19)
经移项、取范数 ,可知 ‖K -1 ( Mms T mm -) ‖ =
ss + Mss R)( Z(i-1) Zmm
‖( R(i) ( R(iR) Z(i
-1 -1)-1)
-R)-( Kss Mss -mm ) ‖≤ -1 ( R(i-1) ‖R( i)
‖Kss Mss -R) Z(i-1)mm‖ +-R ‖≤ -1) ‖R( i)
‖R(i
-R ‖ +-R ‖所以 ,当‖ R( i) -mm 1) -
R ‖→0时 ,就有‖ Z(i -Zmm ‖→0。反之 ,由条件
ρ( Kss -1Mss )ρ( Z(j)mm) <1 ,j =1 , .,i -1及式 (19)易推知 ‖e(i) -R ‖≤
ms mm -Zmm ‖ + 11)-1)
ss Z(iR ‖
ss Mmm -‖‖R(i-
注意到 ‖ Kss -1Mss Z(i -1) ‖<1 ,再由压缩映像原理
mm
知 :当‖ Z(i -1) -‖→0时 ,就有 ‖ R( i) -R ‖→0。
mm Zmm
通过以上的分析可知 :①设矩阵对 ( Kss , Mss )的特征值为 0<μ1 ≤μ2 ≤.≤μs,矩阵 Zmm的特征值为 0<λ1< .<λm,且λi/μj <1 ,i =1 , .,m;j = 1 , .,s由定理 1知矩阵方程式 ( 12)有唯一解 R。
②要用 IIRS法计算特征值问题式 (1)的 p个最小特征值 λ1<λ2< .<λm,需合理地选择结构有限元模型的主、辅坐标使得 λm <μ1 ,即ρ( K -1ssMss ) ·
-1
ρ( Mmm Kmm ) <1。否则 ,由矩阵特征值分割定理 3可知 ,定理 4的条件不满足 ,则 IIRS法迭代过程就可能不收敛到式 (12)的解 R。
21 2 逆迭代动力缩聚法的收敛分析
若迭代式 ( 8)收敛 ,则矩阵方程 R= ( Csm + Css R)( Cmm +Cms R) -1一定有解。这是一非对称的代数 Riccati方程 ,即
Css R -RCmm = RCms R -Csm (20)
式中 : Cmm ∈Rm ×m; Cms ∈Rm ×s; Csm ∈Rs ×m; Css ∈
Rs ×s。用有限元法建模 ,选主、辅自由度数 m ν s,可知式 (20)有以下特点 : Css通常是一个大型实对称带状矩阵 ; Cmm是小型的实对称稠密矩阵 ;矩阵 Csm ms ≠0 ,但仅有少数的非零元素。
= CT 下面首先研究式 ( 20)解的性质和有解的条件 ,然后分析研究动力缩聚逆迭代法的收敛性。假设线性变换 T( Q) =Css Q-QCmm ,其中 Css ∈
Rs ×s, Cmm ∈Rm ×m, Q ∈Rs ×m,且‖ Cms ‖≠0及
‖Csm ‖≠0。
引理 若 R是式 (20)的解 ,则
(1) ‖R ‖≠0 ;
‖T( Q) ‖‖T( R) ‖
(2) min ≤ ≤‖Cms ‖·
Q ≠0 ‖Q ‖‖R ‖ ‖Csm ‖‖R ‖+ ;
‖R ‖
(3)记χ= ‖Cms ‖,γ= ‖Csm ‖,φ= ‖R ‖,
δ= min ‖T( Q) ‖ ,则δφ≤χφ2+γ;
Q ≠0 ‖Q ‖
(4)当δ2-4χγ>0时 ,方程 χφ2-δφ+γ=0
中国航空网 www.aero.cn
航空翻译 www.aviation.cn
本文链接地址：航空学报08大飞机专刊(43)
