δ-1 [ Q1 Cms ( Q1 -Q2 )-( Q1 -Q2 ) Cms Q2 ]
取范数并注意到 δ=χ(φ1+φ2 ),有 ‖W ( Q1 )-W ( Q2 ) ‖≤
-
δ1 ( ‖Q1 Cms ‖ + ‖Cms Q2 ‖) ‖Q1 -Q2 χφ1 +φ1
(φ1 +φ1 ) ‖Q1 -Q2 ‖ = ‖Q1
δφ1 +φ2
因此 , W ( Q)是 S (φ1 )上的一个压缩映射 ,则式
(20)有唯一解 R3 ∈S (φ1 )。因此 ,在满足定理 5的条件下 ,式 (12)有唯一解 R ,下面就可给出用式 (8)迭代求解的条件。
将式 (1)改写为 CXm =XmΩm,设矩阵 C的特征值 μ1>μ2> .>μn >0 ,记 m个最大特征值矩阵为 Ωm = diag (μ1 , .,μm) ,对应的正规化特征向
Xmm
量矩阵为 Xm =
,
Xsm
Cmm Cms
Xmm
Xmm
Ωm
则有
=
Csm Css
Xsm
Xsm
-1
记 R= Xsm Xmm ,由上式可推知 I
I
Cmm Cms -1
=
XmmΩm Xmm
Csm Css
R
R I
Cmm Cms
I
及
=
( Cmm +Cms R)
R
Csm Css
R
‖≤ -Q2 ‖
因此 ,为了分析逆迭代动力缩聚式 (8)的收敛性 ,可转换为研究式 (21)的收敛性。
R( i+1) Ω( i) X(i) -1 )-1
=( Csm mmmm + Css R(i)) ( X(i) m
(i = 0 ,1 ,2 , .)
R(0)
= Csm Cmm -1
(21)
将迭代式 (21)与 IIRS法迭代式 ( 7)比较 ,可知二者没有本质的区别 ,因此有类似的迭代收敛的条件 ,证明过程也完全类似。
3 子空间迭代法与动力缩聚法之间的关系
关于子空间迭代法与逆迭代动力缩聚法的关系 ,在文献 [8 ]
迭代法与 IIRS法的关系进行讨论。
m
Y(i+1)
Kmm Kms
mm
=
Y(i+1)
Ksm Kss
sm
由式 (22)的第 2行计算 Y(i+1)sm代入第 1行 ,令 X( i) R( i) X( i)
sm = mm
Y( i+1) R( i+1) Y(i+1) sm = mm
可得
Y(i+1)Kmm Y( i+1)
mm + Kms R(0) mm = ( R(0)) T ( Msm + Mss R(i) ) X(i) +( Mmm mm
mm + Mms R(i) ) X( i)
(23)利用式 (4)和式 (5),有
K(0)( T(0)) T
T= Kms + Kms R(0)= KT(0) M( i)
R= Mmm +( R(0)) TMsm + Mms R(i) +
( R(0)) TMss R(i) =( T(0)) T MT(0)则式 (23)简化为
(0) Y(i+1) X( i)
KTmm = M(i)Rmm (24)假设 Y(i+1)mmmm
可逆 ,联立式 (24)和式 (22),消去 Y(i +1) 项 ,便得到 IIRS法的迭代式
R( i+1) R(0)-1 )-1K(0)
=+ Kss ( Msm + Mss R(i)) ( M(Ri) T
(25)
反之 ,用迭代式 ( 25)计算 R(i +1),按 IIRS法形成 , Y(i +1) R(i +1)
X(i)sm=R( i) X(i)mmsm =Y(i+1)mm,满足子空间迭代式 (22),详情可参见文献 [7 ]。
( i)
m = MXm
是经过 i次迭代后是待求的第 i +1次
m
Mmm M ms X( i) mm
Msm Mss X( i) sm
(22)
以上分析说明 IIRS法实质上是子空间迭代法的一种变形形式 ,因此它具有子空间迭代法的收敛速度。动力缩聚法的主要优点有 :不需要每个迭代步都求解一个小型特征值问题 ,并且其初始迭代向量具有解析表达式 ,很容易求取。但其弱点是尚未成为大型动力学分析软件的标准算法 ,未得到实践充分检验 ,计算中需要人为选择主、辅自由度 [14215 ]。相反 ,子空间迭代法已十分成熟 ,已有标准的算法 ,且获得了广泛应用 ,但该法在每个迭代步中均需求解一个小型特征值问题 ,计算效率相对较低 ,且初始迭代向量需人为选定 ,这对迭代收敛方向和效果有重要影响。一般认为 ,子空间迭代计算出的所有特征对中 ,仅前一半是可接受的 ,而动力缩聚法尚无此方面的共识 ,这是需要进一步研究的。
4 数值算例
如图 1所示 ,某 6层平面框架结构 ,其材料弹性模量 E =21 1 ×1010 830 kg/ m3A =01 2 m2
,采用 2节点 6自由度平面梁单元对该结构进行有限元建模 ,共划分 32个节点、 36个单元、 90个自由度。现分别以 20 , 23 , 25 , 28 , 30这 5个节点处的水平自由度作为主自由度 ,其余 85个自由度为辅助自由度 ,进行动力缩聚计算 ,该算例取自文献 [ 8 ]。计算中共迭代了 4次 ,在子空间迭代中 ,选取的初始迭代向量为 X0 = [ e1 e2 e3 e4 e5 ],其中 , ei(i =1 , ., 5)为第 i个元素为 1 ,其余 89个元素为零的向量。计算结果见表 1和表 2。
图 1 6层平面框架及有限元模型节点划分示意图 Fig11 Six2story frame with defined finite element nodes
表 1 6层框架前 6阶固有频率计算结果对比
(单位 :rad ·s-1)
Table 1 First 6 natural frequencies of six2story frame by
different methods ( Unit :rad ·s-1)
固有频率阶次
方 法
1234 5
全自由度有限元解 801 65 2601 92 4901 82 7701 87 8111 84 IIRS法 801 65 2611 01 4961 15 7991 00 8651 26逆迭代动力缩聚法 801 65 2601 92 4901 83 7761 50 8471 01子空间迭代法 801 65 2601 92 4911 00 7931 23 8911 25
表 2 6层框架前 6阶固有频率计算结果相对有限元解误差对比 (单位 : %) Table 2 Relative errors of f irst 6 natural frequencies of six2story frame by different methods ( Unit :%)
固有频率阶次
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本文链接地址：航空学报08大飞机专刊(44)
